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Matemática Discreta - 2010.2

O livro principal do curso é Scheinerman: "Matemática Discreta, uma introdução". A biblioteca tem vários exemplares; o código dele na biblioteca é 510/S316.

Vamos usar o Hopcroft/Motwani/Ullman, "Introdução à teoria de autômatos, linguagens e computação", como livro auxiliar (mas praticamente só vamos usar o primeiro capítulo dele). O código dele na biblioteca é 005.73/H791.

Horários:

.      2a           3a           4a          5a
 9                                     + - - - - - +
                                       :  reuniões :
                                       :  c.ética  :
                                       :           :
11 +-----------+ - - - - - +-----------+ - - - - - +
   | Mat Disc  | Monitoria | Mat Disc  | 
   |  sala 12  | MD - Fred |  sala 12  |
   |           |  (sala?)  |           |
13 +-----------+ - - - - - +-----------+ 

14 +-----------+           +-----------+             
   |atendimento|           |atendimento|
   |   GP-2/   |           |   GP-2/   |
   |  Julien's |           |  Julien's |
16 +-----------+           +-----------+ - - - - - +
   | Cálculo 2 |           | Cálculo 2 |  reuniões :
   |  sala 10  |           |  sala 10  | de depar- :
   |           |           |           |  tamento  :
18 +-----------+           +-----------+ - - - - - +
   : Monitoria :
   : MD - Fred :
   :  (sala?)  :
20 + - - - - - +

Material do semestre anterior que pode ser útil:

http://angg.twu.net/MD/MD_exercicios_2010mar29.pdf
http://angg.twu.net/MD/MD_exercicios_2010mar29_gabarito.djvu
http://angg.twu.net/MD/MD_exercicios_2010mar29_gabarito.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-MD-prova-1.pdf   (<- inclui exercícios)
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-MD-prova-2.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-MD-prova-3.pdf   (<- falta digitar)
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-MD-prova-VS.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-MD-exercs-P4.pdf
http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-MD-prova-VS2.pdf

Ainda não terminei o plano de curso! 8-(

Datas marcadas e o que foi dado nas aulas que já aconteceram:

1ª aula (09/ago): Ninguém veio (1ª semana)
2ª aula (11/ago): Introdução ao curso...

3ª aula (16/ago): (...)
4ª aula (18/ago): Depois eu vou digitar o resumo da aula -
  por enquanto vai só o exercício mais urgente.
  Estamos usando (temporariamente!) as seguintes definições:
    Se b∈{2,3,...} então
      _b é primo_ se e só se ∃a∈{2,...,b-1}.a|b;
    Se n∈N então
      _n é par_ se e só se ∃k∈{0,1,...,n}.2k=n;
    Se n∈N então
      _n é ímpar_ se e só se ∃k∈{0,1,...,n}.2k+1=n.
  Exercício (***MUITO*** importante):
    calcule (passo a passo, como sempre), o valor de:
      6 é primo,
      2 é par,
      3 é par,
      3 é ímpar.
  Obs: a versão 0.00 (muito preliminar) das notas sobre a relação
  de redução está aqui:
    http://angg.twu.net/LATEX/2010reducao.pdf

5ª aula (23/ago): Trabalhamos com a folha de "Exercícios sobre
  expressões equivalentes" que eu preparei no semestre passado:
    http://angg.twu.net/MD/MD_exercicios_2010mar29.pdf
  Acho que deixei bem claro que o objetivo mais básico (e mais
  urgente!) desta aula era todo mundo sair sendo capaz de completar
  por si mesmo esta tabela: se A={1,2} e B={2,3} então
                         P(x) = (x=3)   P(x) = (x=1->x=3)   P(x) = V
                         -------------+-------------------+---------
    (E0)  ∀x∈A∪B.P(x)         F       |         F         |     V
    (E1)  ∀x∈A∩B.P(x)         F       |         V         |     V
    (E2)  ∃x∈A∪B.P(x)         V       |         V         |     V
    (E3)  ∃x∈A∩B.P(x)         F       |         V         |     V
    (E4)  ∀x∈A.(x∈B->P(x))    F       |         V         |     V
    (E5)  ∀x∈A.(x∈B∧P(x))     F       |         F         |     F
    (E6)  ∃x∈A.(x∈B->P(x))    V       |         V         |     V
    (E7)  ∃x∈A.(x∈B∧P(x))     F       |         V         |     V
6ª aula (25/ago): Tentamos classificar as expressões E_0,...,E_7
  em vários grupos de expressões equivalentes, e chegamos a uma
  classificação preliminar:
                         P(x) = (x=3)   P(x) = (x=1->x=3)   P(x) = V
                         -------------+-------------------+---------
    (E5)  ∀x∈A.(x∈B∧P(x))     F       |         F         |     F
    (E0)  ∀x∈A∪B.P(x)         F       |         F         |     V
    (E1)  ∀x∈A∩B.P(x)         F       |         V         |     V
    (E3)  ∃x∈A∩B.P(x)         F       |         V         |     V
    (E4)  ∀x∈A.(x∈B->P(x))    F       |         V         |     V
    (E7)  ∃x∈A.(x∈B∧P(x))     F       |         V         |     V
    (E2)  ∃x∈A∪B.P(x)         V       |         V         |     V
    (E6)  ∃x∈A.(x∈B->P(x))    V       |         V         |     V
  mas ainda não vimos como distinguir E1,E3,E4,E7 (ou provar que
  são equivalentes); idem para E2 e E6.
  Falei que uma outra relação mais fraca que equivalência vai ser mais
  importante pra nós que equivalência: "->". Vimos como ela se
  comporta para os predicados P(n)=2|n, P(n)=3|n, P(n)=6|n.

7ª aula (30/ago): Semana de Paralisação e Pesquisa:
    http://angg.twu.net/spp-2010.html
    Vou passar exercícios - uns em sala, outros pra casa - e a aula em
    si vai durar menos que o normal. Vamos ter atividades extras
    (opcionais - só pra quem quiser participar), mas elas só serão
    definidas no próprio dia.
8ª aula (01/set): idem.

9ª aula (06/set): Enforcado - véspera de 7/setembro.
10ª aula (08/set): Modos de definir funções; se o domínio de f:A->B é
  finito basta definir o valor de f para cada elemento do domínio;
  muitas vezes funções e seqüências são definidas "indutivamente",
  como as que aparecem no Scheinerman a partir da p.154, por exemplo:
    k_n = 1 quando n = 0, k_n = 2 * k_(n-1) quando n > 0
  Pedi pros alunos calcularem em casa B_0, ..., B_16 quando (B_0, B_1,
  ...) é esta seqüência definida indutivamente "de um modo estranho":
    B_0      = 0
    B_(2n)   = 10 * B_n       para n∈{1, 2, 3, 4, ...}
    B_(2n+1) = 10 * B_n + 1   para n∈{0, 1, 2, 3, ...}
  Começamos a ver que uma definição por casos, como
    F(n) = / 1 quando n=0
           | 1 quando n=1
           \ F(n-2)+F(n-1) quando n>=2
  é equivalente a uma certa expressão lógica - essa F é a única função
  F:N->N que obedece:
    ∀n∈N.((n=0 -> F(n)=1)
         ∧(n=1 -> F(n)=1)
         ∧(n>=2 -> F(n)=F(n-2)+F(n-1)))
  Esta idéia de procurar a única função que obedece uma certa
  propriedade é parecida com procurar o único número que obedece
  certas equações... por exemplo, temos dois valores de x que
  obedecem:
    (x-1)(x+2)=0,
  um só valor de x que obedece:
    (x-1)(x+2)=0 ∧ x>0,
  e nenhum valor de x que obedece:
    (x-1)(x+2)=0 ∧ x>3.
  Começamos a ver como escrever demonstrações e contas grandes usando
  "proposições", "lemas", etc. Veja:
    http://angg.twu.net/MD/MD_props_e_lemas_2010sep08.pdf

11ª aula (13/set): relações reflexivas, simétricas e transitivas,
  formalmente e graficamente. Vimos como provar que certas relações
  não são R/S/T encontrando contra-exemplos, e usando idéias da folha
  sobre proposições e lemas. Vimos fecho reflexivo, fecho simétrico e
  fecho transitivo. Um comentário, pros alunos pensarem em casa: a
  relação de "redução", que ainda não definimos precisamente, é
  transitiva.
12ª aula (15/set): funções, formalmente: o gráfico de uma função
  f:A->B é uma relação R de A em B obedecendo ∀a∈A.∃!b∈B.aRb.
  É possível definir o "∃!" em termos de outras operações que já
  conhecemos:
    ∃!b∈B.P(b) <-> (∃b∈B.P(b))∧(∀b,b'∈B.(P(b)∧P(b')->b=b')).
  Pegamos um exemplo: A={1,2,3}, B={1,2,3,4},
  S={(1,4),(2,1),(3,2),(3,3)}. Sabemos que S não é (o gráfico de)
  uma função de A em B, mas como mostrar isto formalmente, sem
  contas enormes, traduzindo a nossa intuição para algo formal?
  Uma solução possível é esta. Se P(b) = aSb então:
  Lema: se a=3, b=2, b'=3, então           P(b)∧P(b')->b=b'   é falso.
  Lema: se a=3 então              ∀b,b'∈B.(P(b)∧P(b')->b=b'   é falso.
  Lema: se a=3 então (∃b∈B.P(b))∧(∀b,b'∈B.(P(b)∧P(b')->b=b')) é falso.
  Lema: se a=3 então ∃!b∈B.P(b) é falso.
  Lema: ∀a∈A.∃!b∈B.aSb é falso.
  Teorema: S não é o gráfico de uma função de A em B.

13ª aula (20/set): notação {_|_} para gerar conjuntos - e o que mais?
14ª aula (22/set): notação {_|_}, de novo; composição de funções;
  {(a,f(a))|a∈A} sempre gera o gráfico de uma função; algumas funções
  interessantes com domínios infinitos: |·|, conjunto das partes,
  o "inf" de subconjuntos de N não-vazios.
  Passamos um tempão vendo versões adaptadas das questões 2 e 4 da P1
  do semestre passado:
    http://angg.twu.net/LATEX/2010-1-MD-prova-1.pdf
  mais precisamente, vimos como a sentença
    d_0=0 ∧
    ∀n∈N.((d_n=n -> d_(n+1)=10·d_n+9) ∧
          (d_n!=n -> d_(n+1)=d_n))
  define uma sequência (d_0, d_1, ...) tal que, por exemplo:
    d_0   = 0     (porque 0 não tem nenhum dígito significativo)
    d_6   = 9     (porque 6 tem 1 dígito significativo)
    d_22  = 99    (porque 22 tem 2 dígitos significativos)
    d_407 = 999   (porque 407 tem 3 dígitos significativos)
  e aí podemos definir a++b ("concatenação") como a·(d_b+1)+b.
  Pedi pros alunos tentarem fazer os problemas da P1 do semestre
  passado.

15ª aula (27/set): vimos a seqüência D_0={0}, D_1={1}, D_2={2, 11},
  D_3={12, 21, 111}, que diz todos os modos de cobrir um retângulo 2×n
  com dominós; ela pode ser definida "mais-ou-menos formalmente" por:
    D_n = {k∈{0,...,10^k} | todos os dígitos de k são "1" ou "2",
                            a soma dos dígitos de k é n}
  e esta definição nos permite checar rapidamente que, por exemplo,
     99∈D_4 é falso, e
    121∈D_4 é verdadeiro.
  O modo como estamos encarando a notação {_|_} - como sendo feita de
  "geradores" e "filtros" - não é exatamente o padrão; o mais usual é
  interpretarmos a construção {_|_} como uma relação de pertencimento
  disfarçada, e:
    34 ∈ {10a+4b | a∈N, b∈N, b<=2} -~-> ∃a∈N.∃b∈N.(b<=2 ∧ 10a+4b=34)
  Lembre que tínhamos um modo de comparar conjuntos finitos, e um modo
  de comparar funções comparando os seus gráficos (como conjuntos)...
  Por incrível que pareça, a operação de comparar dois conjuntos
  quaisquer é considerada admissível matematicamente, apesar de que
  intuitivamente ela é péssima - para comparar duas funções de R em R
  temos que testar se elas dão o mesmo resultado para todo x∈R, o que
  já é ruim, porque R é infinito; mas pra testar se A=B quando A e B
  são conjuntos temos que testar se x∈A e x∈B dão os mesmos resultados
  para _todos os valores possíveis de x_ - para "x"zes que são
  números, para "x"zes que são conjuntos, para "x"zes que são listas,
  etc...
  Definimos a seqüência (E_0, E_1, E_2, ...) de conjuntos por:
    E_0 = {0},
    E_1 = {1},
    E_n = {10a+1 | a∈E_(n-1)} ∪ {10b+2 | b∈E_(n-2)}   (para n>=2),
  e pedi pros alunos calcularem E_2 e E_3.
  É bem mais fácil calcular formalmente (|E_0|, |E_1|, |E_2|, ...) -
  que dá (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) - do que calcular as cardinalidades
  dos "D_n"s. Aos poucos vamos ver como provar sentenças como
    ∀n∈N.D_n=E_n.
16ª aula (29/set): mais definição indutivas (obs: preciso olhar no
  caderno de alguém pra descobrir o que eu dei). Terminei a aula com
  uma definição indutiva equivalente a isto:
    M_(n,d) = {(x_1,...,x_n) | x_1,...,x_n∈{0,...,9}, x_1=d, 
                               x_1 >= x_2 >= ... >= x_n}.

17ª aula (04/out): revisão, toda em cima de uma lista de exercícios
  (falta scaneá-la).
18ª aula (06/out): P1:
  http://angg.twu.net/MD/MD_P1_2010oct06.pdf

19ª aula (11/out): Enforcado - véspera de 12/outubro (N.Srª aparecida).
20ª aula (13/out): Começamos a ver demonstrações. Todos os problemas
  deste módulo do curso vão ser da forma "convença alguém que...", e a
  distinção que vai ser mais útil pra gente não vai mais ser a entre
  "expressões verdadeiras" e "expressões falsas", e sim a entre "o que
  já sabemos" e "o que ainda não sabemos" - e vamos ver como aumentar
  o conjunto das coisas que sabemos. Comecei com um exemplo:
  2^4-2^3=2^3 é verdade, mas não é nada óbvio que 2^100-2^99=2^99 seja
  verdade; no entanto, isto
    2^100 - 2^99 = 2*2^99 - 1*2^99
                 = (2-1)*2^99
                 = 2^99
  convence qualquer pessoa de que 2^100-2^99 = 2^99 é verdade, sem que
  precisemos calcular numericamente nenhuma das expressões.
    Tentei fazer um paralelo com uma tabela que construímos para
  calcular os valores da seqüência (b(0), b(1), ...) (definida
  abaixo); a gente começava com uma tabela quase toda vazia (cheia de
  "não sei"s), e ia preenchendo ela aos poucos - e a ordem na qual a
  gente ia preenchendo ela era importante. Não sei se fui muito
  convincente nessa comparação. 8-)
  Consideramos cinco seqüências:
    (b(0), b(1), ...), com axiomas:
      (B0) b(0)=0
      (B1) ∀k∈N.b(2k)=10*b(k)
      (B2) ∀k∈N.b(2k+1)=10*b(k)+1
    (c(0), c(1), ...), com axiomas:
      (C0) c(0)=0
      (C1) ∀k∈N.c(2k)=10*c(k)
      (C2) ∀k∈N.c(2k+1)=10*c(k)+1
      (C3) ∀k∈N.c(k+1)=c(k)+1
    (a(0), a(1), ...), com axiomas:
      (A1) ∀k∈N.a(2k)=10*a(k)
      (A2) ∀k∈N.a(2k+1)=10*a(k)+1
      (A3) ∀k∈N.a(k)∈R
    (e(0), e(1), ...), com axiomas:
      (E0) e(0)=0,      
      (E1) ∀k∈N.e(k+1)=10*e(k)+1
    (f(0), f(1), ...), com axioma:
      (F1) ∀k∈N.f(k)=(10^k-1)/9
    (g(0), g(1), ...), com axiomas:
      (G199) g(199)=(10^199-1)/9
      (G200) g(200)=10*g(199)+1
  Os exercícios foram provar que b(5)=101, c(4)=100, c(4)=4, a(0)=0,
  a(4)=100; depois calcular e(0), e(1), e(2), e(3), f(0), f(1), f(2),
  f(3), e provar que g(200)=(10^200-1)/9 (este último ficou pra casa).
  Um exemplo de um modo de arrumar demonstrações:
    1) b(0)=0               (por B0)
    2) b(2*0+1)=10*b(0)+1   (por B2, com k=0)
    3) b(1)=10*b(0)+1       (por (2))
    4) b(1)=0+1             (por (3) e (1))
    5) b(1)=1               (por (4))
    6) b(2*1)=10*b(1)       (por B1, com k=1)
    7) b(2)=10*1=10         (por (6) e (5))
    8) b(5)=b(2*2+1)=10*b(2)+1=10*10+1=101   (por B2 com k=2 e (7))

21ª aula (18/out): Examinamos vários fatos que iremos provar por
  indução, e examinamos a "prova direta" que está escondida dentro de
  cada um deles (e que o livro finge que é trivial).
  Pra casa: livro, p.155, problemas 2,3,4; p.165, problemas 2,3,4.
  Avisei que estes problemas são trabalhosos, e mostrei que pra
  formalizá-los temos que dar nomes a certas seqüências e definí-las
  indutivamente - p.ex., a_n = 1 + 2 + ... + n.
22ª aula (20/out): Semana de Ciência e Tecnologia.

23ª aula (25/out): Começamos a ver como arrumar as tais "provas
  diretas" em árvores - mas a aula não foi muito clara.
24ª aula (27/out): Motivação: o problema da pirâmide de cervejas.
  Sabemos que:
    A \subseteq {1,2,3,4,5,6}   (alfa)
    1∈A -> 2∈A ∧ 3∈A            (beta)
    2∈A -> 4∈A ∧ 5∈A            (gama)
    3∈A -> 5∈A ∧ 6∈A           (delta)
    1∈A                      (epsilon)
  Como provar formalmente que se alfa, beta, gama, delta e epsilon são
  verdade então 6∈A? Vimos a prova em árvore disto (usando as regras
  ∧E1, ∧E2, ∧I, ->E) e traduzimos ela para uma prova "linha a linha",
  que depois foi modificada para ter uma linha de tipo "suponha que".
  A versão modificada era:
    1) Sabemos que   1∈A->2∈A∧3∈A,              (pela hipótese beta)
    2) e sabemos que 3∈A->5∈A∧6∈A.              (pela hipótese delta)
      3) Vamos supor (temporariamente) que 1∈A.
      4) Então 2∈A∧3∈A,                         (por (3), (1) e ->E)
      5) e     3∈A,                             (por (4) e ∧E2)
      6) e     5∈A∧6∈A;                         (por (5), (2) e ->E)
      7) daí,  6∈A.                             (por (6) e ∧E2)
    8) Portanto 1∈A->6∈A.                       (por (3)-(7) e ->I)
  A regra que empurra a hipótese do "suponha" pra dentro da conclusão
  é difícil de entender (marquei ela com três caveirinhas), e todo
  mundo vai ter que praticar ela bastante.
    beta, delta, 1∈A |- 6∈A
    -----------------------(->I)
    beta, delta |- 1∈A->6∈A

25ª aula (01/nov): Feriado: dia do funcionário público
26ª aula (03/nov): discussão sobre como provar que ∀n∈N.2^n<=n!.

  Os alunos tinham uma noção intuitiva de que isso devia ser verdade,
  mas eu disse que 2^777 > 777! e que portanto a situação era bem mais
  complicada do que parecia, e que teríamos que analisar tudo com
  cuidado. No final da aula eles chegaram a este argumento:
        2^4 < 4!
      ------------
      2·2^4 < 5·4!
    ----------------
    2·2·2^4 < 6·5·4!
    ----------------
    ................
    ----------------
      2^777 < 777!

27ª aula (08/nov): Semana Acadêmica.
  **** Aviso 1: vai ter aula (as atividades da semana acadêmica só
       começam de tarde). Aviso 2: todos os assuntos pendentes da P1
       serão resolvidos (mas talvez de um modo um pouco surpreendente).
       Aviso 3: as próximas aulas serão em cima de textos extras e
       listas exercícios. Vou por os primeiros no site de noite. ***
    (Mas ninguém veio na aula e o PURO estava praticamente vazio, aí
    eu esperei meia hora e fui fazer outras coisas.)
28ª aula (10/nov): Semana Acadêmica.

29ª aula (15/nov): Feriado: proclamação da república
30ª aula (17/nov):
    http://angg.twu.net/MD/MD_sists_dedutivos_2010nov17.pdf
    http://angg.twu.net/MD/MD_sists_dedutivos_2010nov17.djvu

31ª aula (22/nov):
    http://angg.twu.net/MD/MD_sists_dedutivos_2010nov21.pdf
    http://angg.twu.net/MD/MD_sists_dedutivos_2010nov21.djvu
32ª aula (24/nov): Vou ter que estar no fórum do Rio neste dia, pra
  uma audiência de um processo trabalhista no qual eu estou envolvido.

33ª   aula (29/nov): P2. Matéria: demonstrações.
    Scan da prova e do gabarito:
    http://angg.twu.net/MD/MD_P2_2010nov29.pdf
    http://angg.twu.net/MD/MD_P2_2010nov29.djvu
33.5ª aula (30/nov): aula extra (18:00, sala E10).
    Mini-introdução a estruturas algébricas: anéis, grupos, monóides.
    Permutações.
34ª   aula (01/dez): Idem, com um ponto de vista um pouco diferente.
    Expliquei que uma coisa que vai pesar muito na P3 é o esquema de
    prova 23, da p.333 do Scheinerman, que é sobre provar que uma
    estrutura é um grupo, e que pelo menos 4 pontos da prova vão ser
    em questões relacionadas com provas de implicações. Os exercícios
    que eu recomendo pra treinar esse tipo de prova são os exercícios
    3 e 4 da p.165, numa forma um pouco simplificada - por exemplo:
      3a: se as seqüências (a_0, a_1, ...) e (b_0, b_1, ...)
        são definidas por:
          (∀n∈N. a_n = a_(n-1) + (3n-2)) ∧ (a_0 = -2)   e
          (∀n∈N. b_n = n(3n-1)/2),
        prove que:
           ∀n∈N. a_n=b_n -> a_(n+1)=b_(n+1)
    *** Obs: tentem encontrar a "forma simplificada" do 3b, 3c, 3d,
      4a, 4b, 4c por si mesmos - tenho que cuidar de outras coisas por
      enquanto (incluindo a correção da P2) e não sei se vou poder pôr
      todas as formas simplificadas aqui na página a tempo!

35ª   aula (06/dez): P3:
    http://angg.twu.net/MD/MD_P3_2010dec06.pdf
    http://angg.twu.net/MD/MD_P3_2010dec06.djvu
35.5ª aula (07/dez): aula extra (18:00)
36ª   aula (08/dez): Feriado municipal (dia de São Jesus das Ostras).
36ª   aula (10/dez): VR (14:00)
    http://angg.twu.net/MD/MD_VR_2010dec10.pdf
    http://angg.twu.net/MD/MD_VR_2010dec10.djvu

37ª aula (13/dez): VS
    http://angg.twu.net/MD/MD_VS_2010dec13.pdf
    http://angg.twu.net/MD/MD_VS_2010dec13.djvu
38ª aula (15/dez):
Notas:
                           P1   P2   P3       VR      VS
Arthur             0.0 ->  6.0  0.5  0.0       -  R
Bruno Paulo       11.4 -> 11.4  8.8 10.0   AP  -  
Carlos             0.7 ->  6.0  5.2  3.4      3.0 VS  2.4
Dangelo             .  ->  6.0  0.4  1.4      0.0 R
Douglas             .  ->  6.0   -    -        -  R
Eduardo Machado     .  ->  6.0  2.2  1.4       -  R
Eduardo Piassi     0.5 ->  6.0  2.5  2.6       -  R
Fernanda            .  ->  6.0  2.3  3.4      3.5 VS
Fernando            .  ->  6.0  0.5   -        -  R
Flávio Telles       .  ->  6.0  2.4  5.4      4.7 VS  3.2
Gustavo             .  ->  6.0   -    -        -  R
Iuri                .  ->  6.0   -   2.1       -  R
Jorge Severo        .  ->  6.0  0.0   -        -  R
Jó Vieira           .  ->  6.0  4.1  2.7      1.0 VS  1.0
Luis Everardo      6.3 ->  6.3  2.4  6.2      4.0 VS  1.0
Luiz Paulo         0.6 ->  6.0  1.4  2.9       -  R
Marcelo             .  ->  6.0  2.8  3.7       -  VS
Paula              7.0 ->  7.0  6.0  5.6   AP 6.3
Paulo Cézar       12.5 -> 12.5  7.5 11.0   AP  -
Pedro Henrique      .  ->  6.0  0.5  0.8       -  R 
Pedro Paulo         .  ->  6.0  2.3   -        -  R
Rafael Andrade     0.0 ->  6.0 10.5  3.6   AP  -
Rafael Marques     4.6 ->  6.0  0.3  3.4       -  R
Rodrigo             .  ->  6.0  0.5  3.0       -  R
Romai              3.4 ->  6.0   -    -        -  R
Sávio Cândido       .  ->  6.0  5.0  6.8   AP  -  
Viernanryck         .  ->  6.0  6.1  5.4   AP 2.0
Vinicius           0.0 ->  6.0  0.2   -        -  R
Vitor              5.5 ->  6.0  5.8  2.0      7.4

Página da versão de 2009.2 do curso: 2009.2-MD.html.